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挑戰解經典方程(305)_三種不_樣方法

放大字體  縮小字體 發布日期:2023-04-22 20:04:50    作者:付漫婷    瀏覽次數:116
導讀

a≠±1、0解法①:依題意a≠0,a2≠0∴1/(1-1/a)2+1/(1+1/a)2=6令1-1/a=x,1+1/a=y∴1/x2+1/y2=6∴x2+y2=6x2y2…① x+y=2…②由②:x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy…③代入①4-2xy=6x2y2

a≠±1、0

解法①:依題意a≠0,a2≠0

∴1/(1-1/a)2+1/(1+1/a)2=6

令1-1/a=x,1+1/a=y

∴1/x2+1/y2=6

∴x2+y2=6x2y2…①

x+y=2…②

由②:x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy…③代入①

4-2xy=6x2y2

∴3(xy)+xy-2=0

∴(3xy-2)(xy+1)=0

∴xy=2/3或xy=-1

當xy=2/3時,(1-1/a)(1+1/a)=2/3

∴1-1/a2=2/3,a2=3,a=±√3

當xy=-1時,(1-1/a)(1+1/a)=-1

∴1-1/a2=-1,a2=1/2,a=±√2/2

∴原方程得解為:a1=√3,a2=-√3,a3=√2/2,a4=-√2/2

解法②:分析:[a/(a-1)+a/(a+1)]2

=[2a2/(a2-1)]2

2.a/(a-1).a/(a+1)=2a2/(a2-1)

∴原方程可變為

[a2/(a-1)2+2.a/(a-1).a/(a+1)+a2/(a+1)2]-2.a/(a-1).a/(a+1)-6=0

∴[a/(a-1)+a/(a+1)]2-2a2/(a2-1)-6=0

∴[2a2/(a2-1)]2-2a2/(a2-1)-6=0

令2a2/(a2-1)=x

∴x2-x-6=0

∴(x-3)(x+2)=0

∴x=3或x=-2

當x=3時,2a2/(a2-1)=3,a=±√3

當x=-2時,2a2/(a2-1)=-2,a=±√2/2

∴原方程得解為:a1=√3,a2=-√3,a3=√2/2,a4=-√2/2

解法③:分析:a/(a-1)+a/(a+1)

=(a2+a+a2-a)/(a2-1)=2a2/(a2-1)

a/(a-1).a/(a+1)=a2/(a2-1)

令a/(a-1)=x,a/(a+1)=y

∴x2+y2=6…①

x+y=2xy…②

由①:(x+y)2-2xy=6…③

將②代入③:(x+y)2-(x+y)-6=0

∴[(x+y)-3][(x+y)+2]=0

∴x+y=3或x+y=-2

當x+y=3時,xy=3/2

∴2a2/(a2-1)=3,∴2a2=3a2-3,∴a=±√3

當x+y=-2時,xy=-1

∴2a2/(a2-1)=-2,2a2=-2a2+2,∴a2=1/2,a=±√2/2

∴原方程得解為:a1=√3,a2=-√3,a3=√2/2,a4=-√2/2

 
(文/付漫婷)
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